यदि श्रेणी frac{3}{1^2} + frac{5}{1^2 + 2^2} | vedclass

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Question

(A) दी गई श्रेणी का $n$-वां पद इस प्रकार है:$a_n = \frac{2n + 1}{1^2 + 2^2 + \dots + n^2}$प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग के सूत्र $\sum

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$120$

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(A) दी गई श्रेणी का $n$-वां पद इस प्रकार है:$a_n = \frac{2n + 1}{1^2 + 2^2 + \dots + n^2}$प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग के सूत्र $\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर:$a_n = \frac{2n + 1}{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}} = \frac{6}{n(n+1)}$आंशिक भिन्न (partial fractions) का उपयोग करके $a_n$ को सरल बनाने पर:$a_n = 6 \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$अब,$20$ पदों का योग $S_{20} = \sum_{n=1}^{20} a_n = 6 \sum_{n=1}^{20} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:$S_{20} = 6 \left[ (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{20} - \frac{1}{21}) \right]$$S_{20} = 6 \left( 1 - \frac{1}{21} \right) = 6 \left( \frac{20}{21} \right) = \frac{120}{21}$यह दिया गया है कि $S_{20} = \frac{k}{21}$,तुलना करने पर,हमें $k = 120$ प्राप्त होता है।

यदि श्रेणी $\frac{3}{1^2} + \frac{5}{1^2 + 2^2} + \frac{7}{1^2 + 2^2 + 3^2} + \dots$ के $20$ पदों का योग $\frac{k}{21}$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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